概率dp_C++详解
2023-08-11 14:38:01 来源:博客园
(相关资料图)
引入概率 DP 用于解决概率问题与期望问题,建议先对概率和期望的内容有一定了解。一般情况下,解决概率问题需要顺序循环,而解决期望问题使用逆序循环,如果定义的状态转移方程存在后效性问题,还需要用到 高斯消元 来优化。概率 DP 也会结合其他知识进行考察,例如 状态压缩,树上进行DP转移等。
求法这类题目采用顺推,也就是从初始状态推向结果。同一般的 DP 类似的,难点依然是对状态转移方程的刻画,只是这类题目经过了概率论知识的包装。
例题P4316 绿豆蛙的归宿这道题的终点很明确,那就是走到 (n) 即停止。对于期望 DP,我们一般采用逆序的方式来定义状态,即考虑从当前状态到达终点的期望代价。因为在大多数情况下,终点不唯一,而起点是唯一的。我们定义 (dp(i))为从 (i) 出发走到终点 (n) 的路径期望总长度,根据全期望公式,得到(设 (G_i)为从 (i) 的边的集合):\(dp(i) = \sum\limits_{e\in G_i}\frac{dp(e_{to}) + e_{const}}{|G_i|}\)因为这是一个有向无环图,每个点需要其能到达的点的状态,故我们采用拓扑序的逆序进行计算即可。
#include using namespace std;const int N = 100000, M = 2 * N;int n, m;struct node { int v, w;};vector e[N];int d[N]; double f[N]; double dfs(int u) { if (f[u] >= 0) return f[u]; f[u] = 0; for (auto [v, w] : e[u]) { f[u] += (w + dfs(v)) / d[u]; } return f[u];}int main() { memset(f, -1, sizeof(f)); cin >> n >> m; for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; e[u].push_back(node{v, w}); d[u]++; } printf("%.2f\n", dfs(1));}
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